SAVIEZ VOUS QUE
Depuis Albert Einstein la vitesse de la lumière est considérée à tord ou à raison comme une constante universelle. Dans les faits, A.Einstein a supposé dans le cadre de la relativité restreinte que c la vitesse de la lumière mesurée à un instant donné est la même dans tous les repères galiléens. Cela ne signifie pas nécessairement que cette vitesse soit une constante universelle !
La relativité générale repose essentiellement sur l'égalité entre la masse inerte et la masse pesante ainsi que sur la constance du rapport G/c2. Une fois encore, cela ne signifie pas nécessairement que G et c soient aussi individuellement des constantes universelles.
Hypothèses du modèle envisagé :
1- L'univers en première approximation a une symétrie sphérique
2- Le rayon de l'univers Ru croît à la vitesse de la lumière : dRu/dt = c(t) (1)
3- L'univers est homogène, soit Mu la masse de l'univers alors : M(r)/r3 = Mu/Ru3 (2)
4- L'univers est isotrope alors : r/Ru = Cste (3)
En dérivant l'expression (3) par rapport au temps on obtient :
(dr/dt) / (dRu/dt) = v(t)/ c(t) = r/Ru = Cste
Dérivons à nouveau cette expression on obtient :
[dv(t)/dt ] / [dc(t)/dt] = r/Ru
D'où :
dc(t)/dt = (Ru/r).dv(t)/dt
Toute masse de l'univers est soumise à l'interaction gravitionnelle alors :
dv(t)/dt = -G(M(r)/r3). r = -G(Mu/Ru3). r
In fine :
dc(t)/dt = -GMu/Ru2 (4)
Par hypothèse on a supposé :
dRu/dt = c (t) (1)
On obtient :
d2Ru/dt2 = -GMu/Ru2 (5)
GMu= (G/c2)(Muc2) ainsi le produit GMu est une constante universelle !
A l'origine des temps t= 0, le rayon de l'univers Ru est supposé nul (point singulier)
Une solution simple consiste à écrire : Ru = At2/3 avec A = [9GMu/2]1/3 = Cste
De l'expression de Ru on tire :
c(t) = 2/3A t-1/3 soit c2(t) = 4/9A2 t-2/3
On remarque que lorsque t tend vers 0 alors c(t) tend vers l'infini
On remarque aussi que Ruc2(t) est une constante universelle dans ce modèle
On a : Ruc2(t) = 2GMu <=> 2GMu/ Ruc2(t) = 1 (6)
La relation (6) est surprenante. En effet, elle semble indiquer que l'univers est comparable à un gigantesque trou noir dont la flèche du temps serait inversée.
Compte tenu de la symétrie sphérique de l'univers, on peut réécrire la relation (6) de la manière suivante : crRu2= 1 (6)
On remarque que la densité moyenne de l'univers est donnée par la relation :
r(t)= 1/cRu2 avec c= 8p/3(G/c2) la constante d'Einstein.
c est constante et puisque Ruc2(t) = Cste alors GRu = C'ste <=> G(t)= C'ste.t-2/3
Le rapport Ru(t)/c(t) est homogène à un temps. On peut définir ce rapport comme étant l'âge apparent de l'univers par opposition à tu qui serait l'âge réel de l'univers.
Ru(t)/c(t) = tu = 3/2 tu
Ainsi l'univers serait 2/3 de fois plus jeune que l'âge apparent tu donné par le modèle où la vitesse de l'univers est une constante universelle.
Par commodité, prenons comme nouvelle origine des temps la date tu
On peut écrire :
R(t) = R0(1+t/tu)2/3 (7)
c(t)= c0/(1+t/tu)1/3 (8)
G= G0/(1+t/tu)2/3 où G0 est la constante de gravitation universelle actuelle
R0 et c0 sont respectivement le rayon et la vitesse de la lumière actuels de l'univers.
Envisageons les conséquences de ce modèle sur l'effet Doppler
Soit d(t) la distance qui sépare deux galaxies de l'univers, faisons l'hypothèse d'une vitesse relative longitudinale v(t) entre ces deux galaxies.
Par hypothèse v(t)/c(t)= d(t)/R(t) (9) conséquence de ce modèle (3)
Tous les temps sont mesurés dans le référentiel de l'observateur :
A l'instant t1= -t, un photon dont la longueur d'onde est l, est émis par la galaxie 1 dans la direction de la galaxie 2, il est reçu à la date t2= 0 :
On a : d(0) = -t§0 c (t)dt (10)
A l'instant t3= -t+dT0, un second photon est émis par la galaxie 1 dans les mêmes conditions, il est reçu à la date t4= dT :
On a : d(dT) = -t+dT0§dT c(t)dt
On obtient ainsi :
d(dT) - d(0) = c(0)dT- c(-t)dT0 = lreçue - lémise
Or, la vitesse relative longitudinale de ces deux galaxies est définie par v(0) :
d(dT) - d(0) = v(0)dT
Rappel : lreçue = c(0)dT= c0dT dès lors :
[lreçue - lémise] /lreçue = v(0)/c0
C'est à dire en utilisant les relations (3) (8) et (10) :
[lreçue - lémise] /lreçue = d(0)/R0 = [1- (1-t/tu)2/3]
d'où lémise/lreçue = (1-t/tu)2/3
Lorsque t tend tu, alors lreçue tend vers l'infini, ainsi les galaxies les plus éloignées deviennent invisibles (apparition d'un horizon cosmologique).
Dl/lémise= [1- (1-t/tu)2/3]/ (1-t/tu)2/3
Quand t/tu <<1 => Dl/lémise=[2t/3tu]/ (1-t/tu)2/3= t /tu .[1/ (1-t/tu)2/3]
Calcul de la constante H de Hubble à l'aide de la relation v(t)/c(t) = r/Ru
v(t) = [c(t)/Ru]. r(t) = H(t). r(t)
On déduit : H(t)= 1/tu. [1/(1+t/tu)]
Ainsi, la constante de Hubble H devient une fonction décroissante du temps.
A.N : Si H(0)= 25 km/s par million d'années lumière, alors tu = 12. 109 Années et tu= 8. 109 Années
Une étude statistique des mesures Dl/lémise devraient permettre de déduire avec précision l'âge de l'univers tu et de déterminer plus aisement les distances stellaires des astres lumineux.
Rappel : dc(t)/dt = -GMu/Ru2 (5) <=> dc(t)/dt = -[2GMu/ Ruc2(t)]. c2(t)/2Ru (6)
dc(t)/dt= - c2(t)/2Ru = -c02/2R0. [1/(1+t/tu)4/3]
A.N : dc0/dt= -c02/2R0= -c0/2tu= -1,25 cm/s /An
D'après le modèle envisagé, la vitesse de la lumière décroît de 1,25 cm/s chaque année. On comprend qu'à ce jour une telle variation ait pu passer inaperçue. Pourtant, bien que petite, cette variation, si elle existe est mesurable, il suffirait de faire deux mesures précises de la vitesse de la lumière à quelques années d'intervalle.
Dans cette page, nous avons envisagé un modèle cosmologique compatible avec la relativité restreinte et générale dans lequel la vitesse de la lumière est une fonction du temps. A l'aide de considérations simples nous avons obtenu une expression de c(t), Ru(t) et de G(t). Ce modèle appliqué à l'effet Doppler nous a permis de déduire un âge apparent et un âge réel pour l'univers respectivement 12 et 8 milliards d'années. De plus, il explique pourquoi le décalage spectral Dl/l des objets très éloignés ne suit pas la loi 'classique' de Hubble. Pour finir, nous avons proposé une expérience simple qui permettrait de valider ou d'invalider ce modèle.
PS : Soit hn l'énergie d'un photon émis par une source lumineuse à la date t= -t1. Ce photon est reçu par l'observateur à la date t= 0. On peut écrire : Eémise= hc(t1)/lémise d'après les relations précédentes on a : Eémise= [hc0/lreçue]/(1-t1/tu)= Ereçue/(1-t1/tu)
Ainsi l'énergie du photon détecté par l'observateur est moindre que celle dont il disposait au moment de l'émission. Dés lors, les objets visibles les plus éloignés pourraient être en fait des corps fortement émissifs dans le domaine des UV ou bien dans celui des rayons X.
Cet effet pourrait s'avérer très utile dans la recherche des trous noirs. En effet, les trous noirs ont théoriquement un fort pouvoir émissif dans le domaine des rayons X. Un trou noir suffisamment massif et éloigné émettrait des photons X qui pourraient être reçus par un observateur terrestre dans le domaine du visible.
Cet univers viole t-il le principe de conservation de l'énergie ?
En apparence oui ! comme semble l'indiquer la remarque précédente concernant l'énergie d'un photon émis et l'énergie d'un photon reçu pourtant on se propose de montrer que l'énergie de l'univers se conserve.
Soit rc2 la densité énergétique de l'univers on a : rc2= c2/cR2 (6) ainsi rc2= 1/ctu(1+t/tu)2 donc cette densité varie comme l'inverse d'un temps au carré. L'énergie totale de l'univers est proportionnelle à rc2Ru3. Puisque Ru(t) = R0(1+t/tu)2/3 (7) l'énergie totale de l'univers est conservée à chaque instant !
Montrons que l'énergie d'interaction gravitationnelle de l'univers proportionnelle à GMu2/Ru est aussi conservée dans ce modèle
On peut réécrire GMu2/Ru= (G/c2) * (Muc2)2 / (Ruc2), on a montré précédemment que chacun de ces trois termes était une constante universelle, ainsi on peut conclure que l'énergie gravitationnelle de l'univers se conserve !
Remarque : Il est surprenant que l'énergie d'un photon ne soit pas conservée dans ce modèle. Pour que cette forme d'énergie soit elle aussi conservée, il faudrait introduire une hypothèse complémentaire. En effet, si on suppose une variation de la constante de Planck suivant la loi : h= h0(1+ t/tu) alors l'énergie du photon reçu est identique à celle du photon émis.
ca vous en bouche un coin nan?
Mode linéaire
